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これは数学的には、最密問題である。ただし、制約は平面だが、体積は立体である、という点がポイント。
例。縦横ともに 10インチだが、高さは可変。（トマト１個の高さの分だけ。５インチぐらい。）
では、４個入りと５個入りでは、どちらの体積が多いか？ エレガントな解答を求む。
(1) 大きさが均等でないとき
大きさが均等でない（好き勝手に変えていい）ときは、５個入りの方がお得だ。なぜなら、４個を入れたあとで、その隙間に小さな１個を入れることができるからだ。
これは背理法だ。
仮に４個がお得だとすると、その隙間に小さな１個を入れて、５個がお得になり、矛盾。ゆえに、４個ではない。
(2) 大きさが均等であるとき
４個なら４個とも同じ大きさで、５個なら５個とも同じ大きさだとする。この場合は、どっちがお得か？
たぶん、４個の方だろうが、計算しないと、明言はできない。面倒なので、読者の解答を求む。
（ヒント） 団子三兄弟
【 注記 】
トマトの形状は、完全な球形だと仮定してよい。（偏平な楕円球ならば、上下方向の座標を圧縮するだけだから。）
【 蛇足 】
最もお買い得なのは、「中央にデカい１個があって、四隅の隙間に小さなものが４個」というタイプだろう。厳密に計算したわけではないが。
※ 簡単に計算したが、中央のデカい１個だけで、４個
詰めのトマトの４個分に比べて、２倍の分量となるね。
∵ 4 *（1/2）^3 ＝ （1/2）
大きさの 倍率（比率）だけなら、円周率パイ は不要。
管理人さんの事だから、単純計算で無い特別な回答を要求しているのかと思いました。
そんなに偉ぶっているわけじゃなくて、
スーパーでどっちがお買い得かな、と思っただけです。
卑しいケチ根性と、計算嫌いのものぐさ根性があるだけ。
なのだから、４個入りの方は、４個でなく３個であっても、まだお買い得だということになる。
販売者は、入れ方を間違えているね。
逆に言えば、消費者は、 ４個入りのを買うと、すごくお買い得。３個でもお買い得なのに、さらに１個が余計に入っている。超お買い得。
それなのに、５個入りの方を買う人がけっこう多い。数学を知らないと損をする、という実例になる。
５個の方は、半径を r というふうに代数で置いてから、方程式を作って、 r の値を計算で求める。
対角線上に並んだ（団子３兄弟ふうの）球を A,B,C と置くと、
A,C の中心から上辺・下辺との距離は r である。
A,C の中心間の距離は、r + 2r + r で、4r である。
この距離の高さ方向の量は、√2 分の１ となる。
以上の量を全部足した量が、四角形の高さ（１辺の長さ）となる。
これを方程式で書いて、r の値を求める。
あとは計算だけ。
5個の方は半径rとすると、箱の対角線が√200=10√2。
対角線の長さが4r＋2*√2rであらわされるので、
r=5√2/(2+√2)
4個の方の半径10/4の3乗を4倍したものと5個の方の半径rの3乗の5倍したものの大きさを比べたらよい。
4*10*10*10/(4*4*4)÷(5*(r*r*r))
=5*5*5/2÷((5*5√2*5√2*5√2)/((2+√2)*(2+√2)*(2+√2)))
=5*5*5*(2+√2)*(2+√2)*(2+√2)/(2*5*5√2*5√2*5√2)
=(1+√2)*(1+√2)*(1+√2)/(2*5)
あっているかな?
それは 0.710678 倍 の逆数。
４個と５個のどっちを基準にするか、という違い。
今更ながら、エレガントな、応答かは 分かりかねるのですが 1時間を要してしまいました この問題は同じ上面図を、立体も、同じ要領で12面×12面に、出来ますそのまんま縦×横です、個々、各々の、球体の中心を貫く仮想な、線を区切ります、そうしてピタゴラス定理みたいな要領で5つ の 円としました図の方は半径分接っして、縦、横、成立します10の、長さに対し、2です三平方な、感じで104面 次 4個の、方ですが同じく斜線を、想定し、9に対し、3です、100面となります結論=これを球体で、拡張しても、同じです、設問を、私が読み違えていなくば多い、お得な選択は5個入り、トマトです。後だし解答ですがお許しください。因に先生の高度な数式は僕は今は分かりませんでした。