2016年08月07日

◆ トマト最密問題

 段ボール箱に、トマトが入っている。4個入りと5個入り。どっちがお買い得か?

 ──

 これは数学的には、最密問題である。ただし、制約は平面だが、体積は立体である、という点がポイント。
 例。縦横ともに 10インチだが、高さは可変。(トマト1個の高さの分だけ。5インチぐらい。)
 では、4個入りと5個入りでは、どちらの体積が多いか? エレガントな解答を求む。


tomato.gif



 (1) 大きさが均等でないとき

 大きさが均等でない(好き勝手に変えていい)ときは、5個入りの方がお得だ。なぜなら、4個を入れたあとで、その隙間に小さな1個を入れることができるからだ。
 これは背理法だ。
 仮に4個がお得だとすると、その隙間に小さな1個を入れて、5個がお得になり、矛盾。ゆえに、4個ではない。

 (2) 大きさが均等であるとき

 4個なら4個とも同じ大きさで、5個なら5個とも同じ大きさだとする。この場合は、どっちがお得か? 
 たぶん、4個の方だろうが、計算しないと、明言はできない。面倒なので、読者の解答を求む。

 (ヒント) 団子三兄弟
 


 【 注記 】
 トマトの形状は、完全な球形だと仮定してよい。(偏平な楕円球ならば、上下方向の座標を圧縮するだけだから。)
 
 【 蛇足 】
 最もお買い得なのは、「中央にデカい1個があって、四隅の隙間に小さなものが4個」というタイプだろう。厳密に計算したわけではないが。

 ※ 簡単に計算したが、中央のデカい1個だけで、4個
   詰めのトマトの4個分に比べて、2倍の分量となるね。
    ∵ 4 *(1/2)^3 = (1/2)

posted by 管理人 at 12:08| Comment(9) | 科学トピック | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
 比較的簡単な計算で できた。5個の方は4個の方の 0.710678 倍と出た。(計算をミスっていなければ。)
 大きさの 倍率(比率)だけなら、円周率パイ は不要。
Posted by 管理人 at 2016年08月07日 20:13
0.710678倍で正解。

管理人さんの事だから、単純計算で無い特別な回答を要求しているのかと思いました。
Posted by 昼休みのエンジニア at 2016年08月08日 12:53
> 単純計算で無い特別な回答を要求しているのかと思いました。

そんなに偉ぶっているわけじゃなくて、
スーパーでどっちがお買い得かな、と思っただけです。
卑しいケチ根性と、計算嫌いのものぐさ根性があるだけ。
Posted by 管理人 at 2016年08月08日 13:09
 「5個の方は4個の方の 0.710678 倍」
 なのだから、4個入りの方は、4個でなく3個であっても、まだお買い得だということになる。
 販売者は、入れ方を間違えているね。
 逆に言えば、消費者は、 4個入りのを買うと、すごくお買い得。3個でもお買い得なのに、さらに1個が余計に入っている。超お買い得。
 それなのに、5個入りの方を買う人がけっこう多い。数学を知らないと損をする、という実例になる。
Posted by 管理人 at 2016年08月08日 19:44
 解き方は:
 5個の方は、半径を r というふうに代数で置いてから、方程式を作って、 r の値を計算で求める。
 対角線上に並んだ(団子3兄弟ふうの)球を A,B,C と置くと、
A,C の中心から上辺・下辺との距離は r である。
A,C の中心間の距離は、r + 2r + r で、4r である。
この距離の高さ方向の量は、√2 分の1 となる。
以上の量を全部足した量が、四角形の高さ(1辺の長さ)となる。
これを方程式で書いて、r の値を求める。
あとは計算だけ。
Posted by 管理人 at 2016年08月08日 19:49
4個の方は半径10/4
5個の方は半径rとすると、箱の対角線が√200=10√2。
対角線の長さが4r+2*√2rであらわされるので、
r=5√2/(2+√2)
4個の方の半径10/4の3乗を4倍したものと5個の方の半径rの3乗の5倍したものの大きさを比べたらよい。
4*10*10*10/(4*4*4)÷(5*(r*r*r))
=5*5*5/2÷((5*5√2*5√2*5√2)/((2+√2)*(2+√2)*(2+√2)))
=5*5*5*(2+√2)*(2+√2)*(2+√2)/(2*5*5√2*5√2*5√2)
=(1+√2)*(1+√2)*(1+√2)/(2*5)
あっているかな?
Posted by ishi at 2016年08月08日 20:23
 (1+√2)*(1+√2)*(1+√2)/(2*5) = 1.40710678119

 それは 0.710678 倍 の逆数。
 4個と5個のどっちを基準にするか、という違い。
Posted by 管理人 at 2016年08月08日 22:31
こんにちは。いつも参考にさせていただいております
今更ながら、エレガントな、応答かは 分かりかねるのですが 1時間を要してしまいました この問題は同じ上面図を、立体も、同じ要領で12面×12面に、出来ますそのまんま縦×横です、個々、各々の、球体の中心を貫く仮想な、線を区切ります、そうしてピタゴラス定理みたいな要領で5つ の 円としました図の方は半径分接っして、縦、横、成立します10の、長さに対し、2です三平方な、感じで104面 次 4個の、方ですが同じく斜線を、想定し、9に対し、3です、100面となります結論=これを球体で、拡張しても、同じです、設問を、私が読み違えていなくば多い、お得な選択は5個入り、トマトです。後だし解答ですがお許しください。因に先生の高度な数式は僕は今は分かりませんでした。
Posted by 福神 やしろ at 2016年08月11日 15:47
申し訳ありませんでした!9×9=81面 3×3=9面 足して90面でした。お恥ずかしいです、、
Posted by 福神 やしろ at 2016年08月11日 16:07
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