2013年11月23日

◆ 掛け算で単位を書くべきか?

 掛け算の順序、という教育問題に関連して、「数式に単位を書けばいい」という提案がある。しかしこれは成立しない。 ──

 掛け算の順序、という教育問題がある。これについての私の見解は、先に述べた通り。
  → 掛け算の順序、という教育問題

 一方、次の見解もある。
 「掛け算の数式に単位を書けばいい」


 たとえば、1冊 50円の本を8冊買う、という例題では、
    50 (円/冊)× 8(冊) = 400(円)

 というふうに書くわけだ。
 なるほど、これだったら、順序の問題はなくなる。なぜなら、次のように書いたとしても、正解になるからだ。
    8 (冊)× 50(円/冊) = 400(円)

 この場合には、順序は逆になるが、考え方はまったく正しいから、誤答扱いにならない。
 かくて、順序の問題も、考え方の問題も、クリアできる……という名案(?)だ。

 この見解は、ツイッター上でも「素晴らしい名案を考えたよ!」というツイートがいっぱいあった。また、少し遅れて、「車輪の再発明」( 100番目の再々発明)みたいな感じで、はてなブックマークでも人気記事になった。
  → 掛け算順序問題の画期的な解決方法  
 その通りだね、と同意する見解も、たくさんあふれた。
  → 上記の はてなブックマーク

 つまり、これに同意する人はすごく多いようだ。
 しかしながら、この見解は、妥当ではない。その理由を、以下で示す。

 ──

 (1) なくてもわかる

 そもそも、単位を書く必要はない。なぜなら、書かなくても、その単位はわかるからだ。
 たとえば、1冊 50円の本を8冊買う、という例題では、
    50 (円/冊)× 8(冊) = 400(円)

 というふうに書けばいい……というわけだが、いちいち単位を書かなくても、50 の単位が (円/冊)であり、 8 の単位が (冊) であることは、例題のなかにすでに示してある。
 とすれば、順序を逆にして、
    8× 50 = 400

 と書いたとしても、その単位は正しく指定されることになる。つまり、8の単位は(冊)であり、50 の単位は (円/冊) である。例題中にそう書いてあるのだから、それ以外にはありえない。
 換言すれば、ここで、
    8× 50 = 400

 という数字を見て、「8の単位は(円/冊)であり、50 の単位は (冊) である」と見なすことはありえない。(それでは例題に反する。)
 要するに、数字を見るだけで、単位は自動的に決まる。それは1意的に決まる。誤解の余地はない。
 つまり、単位を書いても書かなくても、情報量は同じである。
 とすれば、いちいち単位を書く手間が増えるだけであって、単位を書くことのメリットは何もないのだ。
( ※ 採点する教師にとっては採点のメリットがあるが、教師のメリットなどは無意味だ。教育は、教師のためにあるのではなく、生徒のためにある。教師の採点のメリットを優先するのでは、本末転倒だ。)

 (2) 単位に割り算が入る

 単位を導入するとしたら、上記のように、(円/冊)という割り算が必要となる。
 しかし、教育課程においては、まだ掛け算を導入したばかりだ。割り算はまだ習っていない。なのに、単位に割り算を使うというのでは、教育の順序としておかしい。
 おかしいというよりは、不可能だ。まだ習ってもいない割り算を使うというのは、まったく不可能である。
 つまり、「掛け算において単位を書く」というのは、やりたくてもやれないことなのだ。(まだ割り算を習っていないのだから。)

 ──

 より本質的に考えよう。
 ここで教育がなそうとしていることは、何か? 「掛け算」というものを導入することだ。つまり、まだ「掛け算」という概念を知らない子供に、「掛け算」という概念を教えることだ。
 この基本を忘れてはならない。そして、この基本を理解すれば、「割り算をともなう単位を使う」ということは、まったく不可能だとわかるはずだ。

 さらに言おう。
 単位についての理解は、算数ではなくて、理科である。(のちの物理学や化学などに相当する。)そこではたしかに、単位が必要だ。ただし、単位を使うには、あらかじめ割り算を理解しておく必要がある。
 算数ではどうか? 算数の理解には、単位は必要か? いや、必要ない。算数では、単に抽象的な数字を理解するだけでいい。特に、掛け算の導入のときには、(まだ割り算を導入していないのだから)、単位なしで数字で理解するだけでいい。
 要するに、単位を導入するには、割り算の概念が必要なのだから、掛け算の導入の段階では、単位は不要かつ不可能なのだ。単位を導入するのは、割り算を理解したあとでのこととなる。

 ──

 ただ、将来的に割り算を理解すれば、そのあとで単位を使うことができる。そして、単位を使うようになれば、もはや順序の問題はなくなる。先にも述べたように、
    50 (円/冊)× 8(冊) = 400(円)
    8 (冊)× 50(円/冊) = 400(円)

 という2通りのいずれでも正解なのだ。単位があれば、順序の問題はなくなる。
 その意味でも、次のように言える。
 「将来的には、単位を使うことで、順序にこだわる必要はなくなる。ゆえに、掛け算の導入の段階で、順序にこだわるのは無意味である」


 ──

 結局、掛け算の導入の段階で、順序にこだわることは無意味である。
 そして、無意味であることにこだわりすぎて、「順序が違うから誤答とする」というのは、教育としては正しくない。
 これが本項の結論となる。
( ※ この結論は、前出項目の結論と同じである。)



 [ 付記1 ]
 「順序を変えてもいい」ということには、別の論拠もある。それは、「文章題を習う前に、すでに交換法則を習っている」ということだ。
    5×8 = 8×5

 というような交換法則をすでに習っている。だとすれば、文章題の段階でいちいち順序にこだわることは、もともと論拠がない、と言える。

 [ 付記2 ]
 「順序にこだわることは、もともと論拠がない」と述べたが、このことは、次のことからもわかる。
  ・ 学習指導要領には、順序にこだわる記載はない。

  ・ 教科書でも、順序にこだわるのは、東京書籍ぐらいだ。(→ 訂正

 この件については、次のツイートがある。
 11/5の中日新聞 http://amba.to/VFvSXo によれば東京書籍は指導要領解説を掛順こだわり教育の根拠に挙げたが、文科省に考え過ぎだと一蹴されている。
( → togetter

   ※ 上記のリンクは不鮮明なので、こちらがいい。( → 画像

 また、次の情報もある。
  → 教科書会社のトップ「東京書籍」に言わせると、「5×3≠3×5」らしい
 
 結局、東京書籍という、特殊な会社の教科書だけ(→ 訂正 )が、この特殊な解釈(順序にこだわる立場)を取っている。ただ、それがたまたま最大のシェアを取っているせいで、世間で大問題になってしまった。
 だったら、正しい解決策は、「ああだ、こうだ」と議論することよりも、「東京書籍という変な会社の教科書をやめる」ということだろう。
 「東京書籍という出版社の教科書(算数)は、間違っているので、使うのをやめましょう」
 というふうにキャンペーンすればいい。それが正しい方針だろう。

 ( ※ なお、どこが間違っているかは、本項で詳しく説明した通り。)
 
 【 訂正 】

 「東京書籍だけ」という記述は事実に反する、という旨のコメントがありました。コメント欄を参照。
 文中の文字の一部修正では済みそうにないので、ここに注記しておきます。
 




 【 関連項目 】

 → 掛け算の順序、という教育問題
  ※ 掛け算の順序、という問題自体については、上記項目で述べた。
    本項で述べたのは、その問題自体ではなく、そこから派生した
    「単位を書けばOK」という見解への批判である。それだけ。
    問題自体について考えたければ、上記項目を読んでほしい。
 


 【 追記 】
 本項では「単位は教えなくていい」というふうに誤読されるかもしれないが、そういう趣旨では書いていない。勘違いしないでほしい。
 本項では次のように書いている。(再掲)
 「単位を導入するのは、割り算を理解したあとでのこととなる」

 つまり、掛け算を教える段階では単位を導入しない、というだけのことだ。割り算を教えたあとでなら、単位の導入はするべきだ。
 実際、指導要領では、次のようになっている。
 「2年生で加減乗(除)、3年生で単位」

   ※ 割り算は、2年生〜3年生で。2年生では教えないケースも
     あるらしい。3年生では必須。

 こういうわけだから、2年生ではまずは掛け算までを数字レベルで理解すればよく、単位の理解は3年生になってからでいい。

( 以上の話は、コメント欄にも記した。上の【 追記 】の話は、コメント欄に書いた話をまとめる形で記した。)
 
posted by 管理人 at 23:59| Comment(19) | 科学トピック | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
お金を物理量と同様に扱い、冊数は無次元の数値(倍率)とすればOKではないでしょうか。言語との対応も良いと思います。

50円×8 = 8×50円 = 400円
Posted by hagiwara_m at 2013年11月24日 02:42
「車輪の再発明」なのには同意です。
書かれた内容について、昨年出た『数とは何か?』(小林道正著、ベレ出版)と同趣旨ですが、より詳しく記されているので、興味深く読ませていただきました。

「教科書でも、順序にこだわるのは、東京書籍ぐらいだ」とのことですが、掛け算の順序の批判者の間では、「どの教科書も順序にこだわっている」ではないかなと思っています。一番有名なのは、『かけ算には順序があるのか』の著者による調査です。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10461348378.html
私自身も、Webの情報や書籍から、東京書籍、大日本図書、啓林館で、関連しそうな文章題の存在を把握しています。
Posted by t.m at 2013年11月24日 04:34
L「結局、東京書籍という、特殊な会社の教科書だけが、この特殊な解釈(順序にこだわる立場)を取っている。」というのは事実に反します。実際には算数検定教科書出版社全6社です。全社なのです!

詳しくは

http://genkuroki.web.fc2.com/sansu/#MM

を見て下さい。(できればその1節だけではなく全文を!)

あと、冊、人、個、などは単位ではなく限度依存の助数詞。

円は国際単位系の意味での単位ではないですが、
単位とみなしてよいと思います。
お金の量を測るときの単位は為替レートを利用すれば
円だけではなく、ドル、ユーロ、などなども使える。
ただし、為替レートはリアルタイムで変動するのですが。
Posted by くろきげん at 2013年11月24日 07:33
L「結局、東京書籍という、特殊な会社の教科書だけが、この特殊な解釈(順序にこだわる立場)を取っている。」というのは事実に反します。実際には算数検定教科書出版社全6社です。全社なのです!

詳しくは

http://genkuroki.web.fc2.com/sansu/#MM

を見て下さい。(できればその1節だけではなく全文を!)

あと、冊、人、個、などは単位ではなく言語依存の助数詞。

円は国際単位系の意味での単位ではないですが、
単位とみなしてよいと思います。
お金の量を測るときの単位は為替レートを利用すれば
円だけではなく、ドル、ユーロ、などなども使える。
ただし、為替レートはリアルタイムで変動するのですが。
Posted by くろきげん at 2013年11月24日 07:34
6÷2(1+2)=
これを思い出した
そうやって教えたら良いものかw
Posted by 先生 at 2013年11月24日 10:22
くろきげんさん

>あと、冊、人、個、などは単位ではなく言語依存の助数詞。

これは、「冊、人、個」などは助数詞だから「単位」と扱って書いてはいけない、と言いたいのでしょうか?
だとしたらさすがに重箱の隅をつつき過ぎな気がしますね。
Posted by at 2013年11月24日 11:12
理科では普通に単位付けて式作りますよね。

順序を入れ替えても成り立つのは、そもそも交換法則というモノを理解して初めて言えることで、それを理解しないウチは「仕組みを理解できないうちは入れ替えないようにしましょう。」でいいと思います。

かけ算習いたての段階では
50(円)×8(冊) = 8(冊)×50(円) が成り立つことを証明できないでしょ?

そうしないと、後々交換法則が成り立たない計算をしなきゃならなくなった際(たとえば行列計算等)に、絶対に困る。(行列計算は厳密には、式の書き方が一次式と同じ構造なだけで、計算としての意味は全く違うモノですが。)

算数の課題において単位を付けるのを常習化するってのは式の意味を理解する上でとてもいい考えだと思います。
ですが、理解してない交換法則を勝手に使ってしまうとととは混同しちゃいけない別の問題じゃないのかな、って思います。

もっとも、指導要領としてそのように定義されている意味を、教ええる側が理解せず単に「ダメなモノはダメ」で終わらせちゃうんじゃどうしようもないけど。

蛇足。
単位:他の単位に置き換えられるモノ(例:1円=105米ドル、1mm=0.1m、1間=6尺≒1.82m)
助数詞:数詞に付随して数えるときに使うモノ(例:1本、3匹)

概念が違うのはわかるけど、議題とも違うのもわかりますよね。
Posted by ayebee at 2013年11月24日 12:58
1mm=0.01mですね。これは恥ずかしい・・・。
Posted by ayebee at 2013年11月24日 13:03
1mm=1*10^(-3)m=0.001mですね。

恥の上塗りですよ!
Posted by ayebee at 2013年11月24日 13:05
> 交換法則

 [ 付記1 ] を読んでください。すでに習っています。数字の交換法則は既知です。

> 50(円)×8(冊) = 8(冊)×50(円)

 単位の交換法則は必要ありません。数字だけの交換法則を知ればいい。
 この段階では、「数字の掛け算」という概念を知ればいいのであって、「単位」について学ぶのはもっと先のことです。当然、単位の交換法則も出てこない。

> 単位を付けるのを常習化するってのは式の意味を理解する上でとてもいい考えだと思います。

 それをやるのは、単位を学ぶときであって、もっと先のことです。現段階では、「足し算や掛け算」という初歩を学ぶだけです。
 掛け算を学ぶのは2年生。単位を学ぶのは3年生。少しずつ学んでいくんだから、「意味を理解しなくては駄目だ」なんて言わないでください。
 2年生が文章題を学ぶのは、掛け算の意味を(抽象概念でなく)具体例で理解するためです。それだけ。その数式の意味を理解するのは、単位を学ぶ3年生のときのことです。
Posted by 管理人 at 2013年11月24日 13:12
>これは、「冊、人、個」などは助数詞だから「単位」と扱って書いてはいけない、と言いたいのでしょうか?

助数詞を安易に単位扱いしない方がよいというのは確かなことです。

>だとしたらさすがに重箱の隅をつつき過ぎな気がしますね。

いいえ、ブログ記事「掛け算で単位を書くべきか?」の結論にさらに強い根拠を与える貴重な情報だと思います。

言語依存の助数詞の扱い方は昔から算数教育の世界で議論されています。助数詞の使用でどのような不都合が生じる可能性があるかについてはググればわかります。(結構有名な問題です。)

助数詞に関する知識があれば「実際には単位ではなく助数詞なのだから、なおさら扱いには注意を要するはずだ」というような言い方で御自分の主張を強化できたはずだと思っています。

さらに修正するべきだと思うのは、算数と理科と単位の関係に関する意見です。

算数の時間に様々な単位について教えるのはぼくは良いことだと思っています。あと、中学校数学で 3a/b×4b=12a のような計算について教えるときに、ついでに組立単位の仕組みに触れてもバチはあたらないと思う。

「○○は△△という別の分野の話題だから、算数や数学では必要ない」(△△はたとえば理科や国語など)という主張は、算数や数学を理解するために有益なイメージを貧困にする方向の主張であることが多いと思います。

「速度や加速度は理科の話だから、数学ではそのような話題に触れずに微積分を教えるべきだ」のような主張はおかしいです。単位の話も同様です。

「算数の理解には、単位は必要か? いや、必要ない。算数では、単に抽象的な数字を理解するだけでいい」という主張は撤回されるべきだと思います。

実際には抽象的な数字について多彩なイメージを持つこと抜きに算数は理解できません。単位は算数においてとても大事な題材でしょう。

基本線で素晴らしい主張をしているのだから、もっと隙を見せないような議論をした方が説得力が増すと思います。
Posted by くろきげん at 2013年11月24日 16:23
くろきげん さんへ。

 発言者について混乱されているようですが、助数詞の発言は私ではありません。
 また、

> 「算数の理解には、単位は必要か? いや、必要ない。算数では、単に抽象的な数字を理解するだけでいい」

 という発言は、本項では誰もしていないはずです。
 なお、私の発言は、二つ前のコメント(11月24日 13:12)の最後にあります。学年別に少しずつ構築する、という見解です。2年生で四則演算、3年生で単位。
 順序を書くと、

   掛け算 → 割り算 → 単位 

 という順序です。単位を導入するには、その前に割り算が必要です。割り算なしでは、単位を構築できません。
 このあたりは、数学の体系を構築するのと同様で、土台から少しずつ構築していく必要があります。土台を構築しないまま、いきなり上の方の理論を導入すれば、体系が瓦解します。教育も同様。少しずつ構築していく必要があります。
 まず四則演算、次に単位、というのが順序です。この順序を逆にすれば、教育が崩壊します。というか、そもそも構築が不可能です。
Posted by 管理人 at 2013年11月24日 17:09
誤解を避けるため、本文の最後に <FONT COLOR="#dd0000">【 追記 】</FONT> を加筆しました。
 タイムスタンプは 下記 ↓
Posted by 管理人 at 2013年11月24日 17:49
>掛け算 → 割り算 → 単位

流れは,決しておかしくないように思います(上から目線ですみませんが)。学習指導要領に基づくと、乗法は第2学年、除法は第3学年、「円/冊」に密接な関連のある、単位量当たりの大きさは第5学年で学習します。「単位」の言葉はちょっと、気になりますが、管理者さん独自の用語と理解しています。

それでも、「単位を学ぶのは3年生」「その数式の意味を理解するのは、単位を学ぶ3年生のときのことです」「速度や加速度は理科の話」「2年生で四則演算」「単位を導入するには、その前に割り算が必要です」は、算数教育に携わっている者が見たらびっくりすることになると思いますので、他の文献に当たるなどして1点1点、チェックしておくことをおすすめします。
Posted by t.m at 2013年11月24日 17:56
割り算が2年生か3年生かは、ネットを調べても、情報が二通りあって、確定できませんでした。
 ただ、それはどっちでもいい。掛け算が2年生で、単位が3年生、ということを理解すれば、問題ない。
 あとはまあ、細かな話なので、話の本筋とはズレる。指導要領がどうであるかは、 【 追記 】 のリンクを見ればわかるようになっているので、そちらで細かいことを確認すればいい。(細かいことはどうでもいい。知りたければリンクで確認すればいいだけ。)
Posted by 管理人 at 2013年11月24日 18:03
> かけ算習いたての段階では
> 50(円)×8(冊) = 8(冊)×50(円) が成り立つことを証明できないでしょ?

ほんとにそう?
抽象化の概念を理解できてれば、どう抽象化した結果数式が出てきたかを理解していれば、簡単に説明できます。
なお、そもそもとして、数式的に証明する事は基本原則だけに無意味です。なので説明と書きました。

こういった数学(算数)における抽象化の概念を理解していない(意識できていない)人が多いから、数学を暗記力だけで解こうとする人がたくさんいて(知ったときはびっくりしました)、そんな人が算数を教えるからへんな教育方針が出て来るんだろうな、とちょっと暗澹とした気持ちになりました。
Posted by T.M. at 2013年11月25日 00:02
50×8=8×50=400を理解させればいいだけでしょ

> 50(円)×8(冊) = 8(冊)×50(円)
400(円冊)になるのか 400(冊円)になるのか どっち
Posted by stranger at 2013年11月25日 17:55
400(円冊)= 400(冊円)

 ∵ 交換法則

 だけど上の式はもともと間違い。
 50の単位は「円」じゃなくて、「円/冊」です。
Posted by 管理人 at 2013年11月25日 19:26
1冊50円のノートを8冊買いました。 いくら?
50 x 8 =400円

8冊のノートを1冊50円で買いました。いくら?
8 x 50 = 400円

単に表現の順序。
Posted by 隠居2 at 2014年03月13日 18:00
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