2011年09月10日

◆ 虚数次元とは?

 「虚数次元」とは何か? 実数でなく虚数の次元とは何なのか? 

   【 追記 】 を加筆した。 ──

 【 追記 】
 ( ※ 虚数次元について、前項の話よりも、もう少し本質的に示そう。)
 
 前項の 存在振動 とは、質的な振動である。たとえば、 ○ と ● の間で、相互に変換する振動。(「白と黒」というふうに質的な変化がある。)
 
      ○ ←→ ● 
 
 この両者を 1 および -1 と表現することにしよう。(質の次元で。)
 これを波のような「なめらか変化」として表現するには、どうすればいいか? 新たに別の次元を導入して、その基本となる単位量を決めるといい。そのためには、
  「操作を2回繰り返すと、対象が反転する」

 という操作 p を考えるといい。つまり、
   p(p(1))= -1
 である。これを一般化すると、こうなる。
   p(p(x))= -x
 これをさらに単純に乗数の形で書くと、こうなる。
   p2(x)= -x
 このような p は、演算子の形でも書けるし、虚数単位 i の形でも書ける。( i2 = -1 )
  
 ──

 ここまで見れば、虚数次元というものの意味も判明するだろう。
 虚数次元というのは、実在する次元と見なすよりは、「仮想的な次元」と見なす方がいい。それは、実際にあるとしてもないとしても、この世界からは見えないので、わからない。ただ、そのような次元があるとして数学的に考えると、「存在振動」という質的な変化を、きれいに叙述できるのである。そのために導入した仮想的な次元だと考えればいい。
 だから、「虚数次元が存在することを物理的に証明しよう」などという試みは、野暮の極みである。虚数次元を裏付けるものは、質的な変化(存在振動)だけだ。質的な変化(存在振動)が見出されれば、それは虚数次元によって記述される、というだけのことだ。
 そのとき、虚数次元は、直交する次元であることが好ましいが、実を言うと、数学的には、直交する次元でなくても表現できる。ただ、直交する次元で表現する方が簡単だから、直交する次元で表現するだけだ。そのために導入されるのが、虚数単位 i である。
 虚数次元というものは、せいぜいそのくらいの意味でしかない。「虚数次元とは何か」ということを突き詰めたいのであれば、「虚数次元を測定しよう」と思うのはとんだ見当違いのことである。むしろ、「存在振動はどうして起こるのか」という質的な変化を探究するべきだ。そこにこそ虚数次元(質的変化の数学表現)の本質はある。

 要するに、虚数次元というものは、質的変化の数学的な表現(一種の数学的な技巧)にすぎない。その数値に物理学的な意味づけを求めるのは、見当違いである。現実にあるのは、質的な変化だけだ。
  
 《 オマケ 》

 モデル的に考えるなら、次のように考えるといい。
 コインの表と裏がある。それぞれ、 1 と -1 で表現される。
 表と裏とは、平面上にのみ存在するものだ。
 これに対して、「表を裏にひっくり返す」という操作 S (コインを 180度回転させる)を考える。この操作 S は「操作 p を2回繰り返すことでなされる」と考える。この p は、「コインを 90度回転させる」ということに相当する。ただし、この操作は、平面上では表現されない。
 このような操作 p を表現するのに、虚数次元というものが数学的に導入される。
  


 【 関連項目 】

 超球理論における「虚数次元」とは何か …… という件については、すでに下記で示した。基本的な話は、そちらを参照してほしい。

  → 超球理論の数式 5 (振動と確率)  の  (2) 存在振動
posted by 管理人 at 14:26| Comment(1) | 物理・天文 | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
【 追記 】 を加筆した。
 タイムスタンプは 下記 ↓
Posted by 管理人 at 2011年09月10日 18:25
コメントを書く
お名前: [必須入力]

メールアドレス:

ホームページアドレス:

コメント: [必須入力]

※ブログオーナーが承認したコメントのみ表示されます。
  ※ コメントが掲載されるまで、時間がかかることがあります。

過去ログ